Insegnamento
FISICA MATEMATICA
SCO2045520, A.A. 2017/18

Principali informazioni sull'insegnamento
Corso di studio Corso di laurea in
MATEMATICA
SC1159, ordinamento 2008/09, A.A. 2017/18
1148294
Crediti formativi 12.0
Denominazione inglese MATHEMATICAL PHYSICS
Sito della struttura didattica http://matematica.scienze.unipd.it/2017/laurea
Dipartimento di riferimento Dipartimento di Matematica
Obbligo di frequenza No
Lingua di erogazione ITALIANO
Sede PADOVA

Docenti
Responsabile FRANCO CARDIN MAT/07
Altri docenti OLGA BERNARDI MAT/07

Dettaglio crediti formativi
Tipologia Ambito Disciplinare Settore Scientifico-Disciplinare Crediti
CARATTERIZZANTE Formazione Modellistico-Applicativa MAT/07 12.0

Modalità di erogazione
Periodo di erogazione Secondo semestre
Anno di corso II Anno
Modalità di erogazione frontale

Organizzazione della didattica
Tipo ore Crediti Ore di
Corso
Ore Studio
Individuale
Turni
ESERCITAZIONE 6.0 48 102.0 Nessun turno
LEZIONE 6.0 48 102.0 Nessun turno

Calendario
Inizio attività didattiche 26/02/2018
Fine attività didattiche 01/06/2018

Commissioni d'esame
Nessuna commissione d'esame definita

Syllabus
Prerequisiti: Propedeuticita`: Analisi Matematica 1, Geometria 1.
Analisi Matematica Uno e primi rudimenti di Analisi Matematica Due. Nozioni elementari sulle equazioni differenziali ordinarie e del teorema del Dini. Teoria introduttiva dell'integrazione. Geometria elementare di curve e algebra delle matrici.
Conoscenze e abilita' da acquisire: Il corso concorre, nella prima parte ( nei primi 4 CU) a costruire delle abilita' elementari modellistiche, di determinazione di traiettorie e di analisi qualitativa di esse mediante l'introduzione e l'uso della teoria elementare rigorosa dei sistemi dinamici e delle equazione differenziali ordinarie. Nella parte seconda (8 CU) si introduce l'applicazione fondamentale storica della teoria dei sistemi dinamici, la Meccanica Classica dei sistemi vincolati. Emerge in tale studio la conoscenza e l'uso elementare delle varieta' differenziali, stabilendo un intreccio culturale sia con l'analisi matematica sia con la geometria che si sviluppano contemporaneamente nel secondo anno della laurea triennale. Teoria della stabilita', Due corpi newtoniani, dinamica del Corpo Rigido, principi variazionali ed equazioni di Lagrange. Si introduce infine l'abilita' di tradurre la meccanica analitica Lagrangiana in formato Hamiltoniano: tale abilita' e' di importanza notevole in scenari scientifici anche ben diversi dalla meccanica standard, verso la teoria del controllo (equazione di Hamilton-Jacobi) oppure ancora verso la meccanica quantistica, ove e' fondamentale un primitivo impianto classico Hamiltoniano.
Modalita' di esame: Esame in forma scritta, comprensivo di quesiti teorici e di esercizi e problemi.
Criteri di valutazione: La valutazione si basa sulla capacità del candidato di risolvere esercizi, sullo studio delle strutture analitiche e dinamiche introdotte nel corso, sapendone verificare le principali proprietà.
Contenuti: Prima parte:
Richiami sulle ODE, Analisi qualitativa: flusso, spazio delle fasi,
orbite, ritratti in fase, equilibri. Linearizzazione attorno ad un equilibrio. Equilibri
iperbolici ed ellittici. Ritratti in fase dei sistemi lineari nel piano reale. Sottospazi
stabile, instabile e centrale. Insiemi invarianti ed integrali primi. Derivata di Lie. Riduzione
dell'ordine per mezzo di un integrale primo. Ritratti in fase dell'equazione Newton 1-dimensionale. Esempi di biforcazioni. Cambi di coordinate e coniugazione di campi vettoriali. Il teorema
di rettificazione locale. Riparametrizzazioni temporali. Equilibri attrattivi. Stabilit\`a degli equilibri. Primo Metodo, spettrale, di Lyapunov.
Seconda parte:
Spazi Inerziali, riferimenti. P.ti materiali, massa. Spazio delle Configurazioni e delle Fasi sistemi di p.ti liberi. Leggi Forza. Vincoli: p.to di vista geometrico, olonomi e anolonomi. Uso del t. Dini per la loro descrizione locale. Immersione vincolare. Spazio tangente.
Vincoli: p.to di vista dinamico, Reazioni Vincolari. Esempi: vincoli privi di attrito.
Moti Dinamicamente Possibili. Equazioni di Galilei-Newton per i sistemi vincolati. Triedro di Frenet. Particella vincolata su guida senza attrito con forza attiva puramente posizionale.
Determinazione delle Reazioni Vincolari mediante il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange.
Sistemi di forze posizionali associata 1-forma differenziale lavoro, caso conservativo, energia potenziale.
Moti rigidi, velocit\`a angolare, Cinematica Relativa. Teoremi di Galilei e Coriolis.
`Equilibrio Meccanico'. Stabilit\`a di Equilibri Meccanici. Vincoli Ideali (o Lisci). Principio-Teorema di D'Alembert e dei Lavori Virtuali.
Teorema delle Forze Vive. Teorema generale di Conservazione dell'Energia. Stabilit\`a: Secondo Metodo di Lyapunov per la stabilit\`a.
Teorema di Lagrange-Dirichlet. Teorema dell'Hessiano non-degenere. Stabilit\`a giroscopica e sua fragilit\`a con l'introduzione di eventuali viscosit\`a.
Equazioni di Lagrange. Forma normale.
Piccole Oscillazioni attorno ad equilibri stabili: applicazione del problema della linearizzazione.
Integrali primi delle Equazioni di Lagrange: di ciclicit\`a, e di indipendenza dal tempo: int. di Jacobi. Invarianza geometrica, `in forma', delle Equazioni di Lagrange per cambi di coordinate locali (invarianza rispetto al gruppo di diffeomorfismi locali).
Geometria e dinamica del Corpo Rigido: Spazio delle Configurazioni del C.R. Libero. Equazioni Cardinali, Operatore d'Inerzia, Equazioni di Euler, rotazioni uniformi del C. R. scarico, discussione della loro stabilit\`a. Descrizione alla Poinsot. Giroscopio.
Principio Variazionale di Hamilton. Relazioni tra i moti spontanei su variet\`a liscie e le geodetiche. Geodetiche su superfici di rivoluzione: teorema di Clairaut. Bolle di sapone (un problema elementare di Plateau). Teorema di Routh. Simmetrie: teorema di Noether.
Problema dei Due Corpi: Legge di Newton, Massa ridotta, Moti piani, Moti centrali, Velocit\`a areolare, Formule di Binet, Coniche, Deduzione delle leggi di Kepler dalle soluzioni.
Cenno sulle strutture `tangente' e `cotangente' ad una variet\`a vincolare.
Trasformazione di Legendre e equazioni di Hamilton. Principio Variazionale di Hamilton-Helmholtz. Cenni sulle Trasformazioni Canoniche: teorema di caratterizzazione. I flussi di sistemi Hamiltoniani sono tr. canoniche 1-valenti.
Parentesi di Lie, parentesi di Poisson, anti-morfismo d'algebra, sotto-algebra degli integrali primi, teorema di Noether Hamiltoniano.
Attivita' di apprendimento previste e metodologie di insegnamento: lezioni frontali ed esercitazioni
Eventuali indicazioni sui materiali di studio: Nelle pagine web di Franco Cardin e di altri docenti del Dipartimento di Matematica di Padova coinvolti in questi ultimi anni nel corso di Fisica Matematica (Francesco Fasso', Marco Favretti e Olga Bernardi) sono scaricabili dispense e collezioni di esercizi risolti.
Testi di riferimento:
  • F. Cardin, Sistemi Dinamici Meccanici. www.math.unipd.it/~cardin: Libreria Progetto - dispensa, 2018.
  • V. Arnol'd, Metodi Matematici della Meccanica Classica. --: Editori Riuniti, 1978. Cerca nel catalogo
  • T. Levi-Civita & U. Amaldi, Lezioni di meccanica razionale. --: Compomat, 2013. Cerca nel catalogo
  • A. Fasano & S. Marmi, Meccanica Analitica. --: Bollati Boringhieri, 2002. Cerca nel catalogo
  • F. Fasso`, Primo sguardo ai sistemi dinamici. --: Cleup, 2016.